Kör egyenlete

Feladat

Melyek az origótól $\sqrt{5}$ távolságra lévő rácspontok?

És ha nem egészek a pontok koordinátái?

Hol vannak az $(1;2)$ ponttól $\sqrt{5}$ távolságra lévő pontok?

Megbeszélés

Ha a koordináták egészek, akkor $8$ lehetőség van: $(1;2)$, $(2;1)$, $(-1;2)$, $(2;-1)$, $(-2;1)$, $(1;-2)$, $(-1;-2)$, $(-2;-1)$.

Ha nem csak egészek lehetnek a koordináták, akkor egy körvonalon helyezkednek el ezek a pontok. A távolságot Pitagorasz tétellel számoltuk, tehát $x$ és $y$ koordinátákra igaznak kell lennie, hogy $x^2+y^2=\left(\sqrt{5}\right)^2$. Ezzel meg is kaptuk az origó középpontú $\sqrt{5}$ sugarú kör egyenletét.

Amikor a középpont nem az origó, akkor erre gondolhatunk úgy, hogy először el kell tolnunk minden koordinátát az origóba.

Vagy akár úgy is, hogy megrajzoljuk a kör egy tetszőleges pontja és a középpont közötti szakaszt, és berajzoljuk az ehhez tartozó derékszögű háromszöget, aminek a befogói párhuzamosak a tengelyekkel. Ekkor a befogók hossza: $x-1$ és $y-2$, az átfogó pedig a sugár, vagyis $\sqrt5$.

Tehát teljesülnie kell annak, hogy $(x-1)^2+(y-2)^2 = \left( \sqrt{5} \right)^2$.

Megjegyzés

A diákoknak az origó középpontú kör nagyon könnyedén ment, az előtte gyakorolt feladatok alapján. Az általános képlet kicsit nehezebb volt, de erre is többen rájöttek. A visszajelzések alapján többen voltak, akik kiemelték, hogy örültek, hogy ők jöttek rá, így jobban megmarad nekik.