Dolgozat

Feladat

Az $A, B, C, D$ pontok egy paralelogrammát alkotnak. Az $E$ pont az átlók metszéspontja.

• Fejezd ki az $\overrightarrow{AB}$ vektort a $\overrightarrow{DA}$ és $\overrightarrow{DE}$ vektorok segítségével!
• Egy $ABCD$ paralelogrammát elhelyeztünk a koordináta-rendszerben.

Tudjuk, hogy az $AB$ egyenes egyenlete $2x-5y=-4$, az $AD$ egyenes egyenlete pedig $3x-2y=-6$. A $C$ pont koordinátái $(5;5)$, a $B$ pont első koordinátája $3$.

Határozd meg a paralelogramma $A, B$ és $D$ csúcsának koordinátáit!

Feladat

Két radarozó figyeli az óceánt. Béla az $(x+2)^2+(y-3)^2=5$ körben lát, Géza pedig az $(x-1)^2+(y-9)^2=20$ körben. Béla követte a hajót, amely épp akkor hagyta el a megfigyelt területet, amikor feltűnt Géza képernyőjén. A két radar közötti váltás pillanatában hol lehet a hajó, mit tudunk mondani a helyzetéről?

Feladat

Egy biciklis futárnak három címe van, melyek a $(2;6),(12;-7); (4;2)$ pontokban találha-tóak. Az étterem a $(-3;-2)$ pontban van. Mekkora utat kell bejárnia a furának, ha a lehető legrövidebb úton szeretne menni (a futár az étteremtől indul)?

Feladat

Manhattan utcái egymásra merőlegesek. A $47.$ utca egyenesének egyenlete felírható az $-\frac{1}{2}x+6=y$ alakban. A $42$. utca merőleges a $47$. utcára.

• Mi a $42$. utca egyenesének egyenlete, ha tudjuk, hogy átmegy az $(1;2)$ ponton?
• Godzilla éppen a $47$. utcában randalírozik, a $(4;4)$ pontban. Emiatt $2$ egység sugarú körben kiürítik a lakásokat. Érinti-e a kiürítés a $42$. utcát? Ha igen, akkor milyen hosszan? \end{enumerate}

Megoldás

Rajzoljuk fel a paralelogrammát.

• $2\overrightarrow{DE}-\overrightarrow{DA}$
• $B$ rajta van $AB$ egyenesén, tehát a koordinátái kielégítik az egyenletet. Tudjuk, hogy $x=3$, ezt helyettesítsük ben: $2\cdot 3-5y=-4$, ezt megoldva $y=2$. Tehát a $B(3;2)$.

Írjuk át a két egyenes egyenletét: $y=\frac{2}{5}x+\frac{4}{5}$ és $y=\frac{3}{2}x+3$ alakban. Vegyük a két egyenes metszéspontját. Ehhez vonjuk ki az alsó egyenletből a felsőt:

$\frac{11}{10}x+\frac{11}{5}=0$, ezt megoldva: $x=-2$, visszahelyettesíve: $y=0$, tehát $A(-2;0)$.

$AB$ egyenessel párhuzamos egyenest keresünk, tehát a meredeksége megegyezik és rajta van $C(5;5)$ pont. Tehát $5=\frac{2}{5}\cdot 5+b$. Vagyis $b=3$. $CD$ egyenes egyenlete: $y=\frac{2}{5}x+3$. Vegyük a $AD$ és $CD$ egyenes metszetét:

$y=\frac{3}{2}x+3$, $y=\frac{2}{5}x+3$

Vonjuk ki a felső egyenletből az alsót: $0=\frac{11}{5}x$, vagyis $x=0$, visszahelyettesíve: $y=3$. Tehát $D(0;3)$

Megoldás

Ez azt jeleni, hogy a két kör érinti egymást. Bontsuk ki a két egyenletet:

$x^2+4x+4+y^2-6x+9=5$

$x^2-2x+1+y^2-18y+81=20$

Vonjuk ki a felső egyenletből az alsót:

$6x+3+12y-72=-15$. Fejezzük ki $x$-et. $x=-2y+9$. Helyettesítsük vissz a köregyenltbe: $(-2y+9+2)^2+(y-3)^2=5$, vagyis $y=5$. Visszahelyettesítve: $x=-1$. Tehát a hajó éppen a $(-1;5)$ pontban van.

Megoldás

Rakjuk sorba a pontokat: $E(-3;-2), A(2;6), B(4;2); C(12;-7)$. Vegyük az $\overline{EA}(5;8)$, $\overline{AB}(2;-4)$, $\overline{BC}(8;9)$ vektorok hosszát. $x=\sqrt{5^2+8^2}+\sqrt{2^2+(-4)^2}+\sqrt{8^2+9^2} \approx 25,95$

• Mivel a $42$. utca merőleges a $47.$-re, ezért a meredeksége az ellentetje és a reciproka. Tehát $2$. Illeszkedik a $(1;2)$ pontra, így felírható a következő egyenlet: $2=2\cdot1 +b$. Vagyis $b=0$ és a $42$. utca egyenlet $y=2x$.

• A kör egyenlete $(x-4)^2+(y-4)^2=4$. Vegyük a kör és az $y=2x$ egyenes metszetét. Helyettesítsük be a lineáris egyenletet a kör egyenletébe: $(x-4)^2+(2x-4)^2=4$. $x_1=2$ és $x_2=\frac{14}{5}$. Visszahelyettesítve: $y_1=4$ éa $y=\frac{28}{5}$. Tehát a két pont, ami között lezárták: $A(2;4)$ és $B(2.8;5.6)$. Vegyük az $\overline{AB}(0.8;1.6)$ vektor hosszát: $x=\sqrt{0.8^2+1.6^2}\approx1,79$ hosszú szakaszon zárták le.