Focikupa II.

Feladat

Újabb kupát rendeltek. Ez is egy körből és egy alátámasztásból áll. A kör középpontja a $(2;1)$ pont, a sugara pedig $2$. Az alátámasztás egyik egyenlete $-2x+9=y$, a másik $\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}=y$. Melyik pontokban legyen az alátámasztás?

Megbeszélés

Nézzük meg a két egyenes metszéspontját:

• $-2x+9 = y$
• $\frac{2}{3}x-\frac{5}{3} = y$

Vonjuk ki az első egyenletből a másodikat: $-\frac{8}{3}x-\frac{32}{3}=0$, vagyis $x=4$. Visszahelyettesítve $y=1$. A két egyenes a $(4;1)$ pontba metszi egymást. Nézzük meg, hogy ez rajta van-e a körön: $(x-2)^2+(y-1)^2=4$. $(4-2)^2+(1-1)^2=4$, tehát rajta van a körön. A $(4;1)$ ponton kell alátámastani a kupát.

Megjegyzés

Ez a feladat lehetőséget biztosít arra, hogy beszéljünk arról, hogy mi töréntik akkor, ha a metszéspont nincs rajta a körön. Vagyis vagy a körben, vagy a körön kívül helyezkedik el.

A feladatot meg lehet oldani úgy is, hogy a kör és az egyenesek metszéspontját számoljuk ki.

Jó tisztázni a diákokkal, hogy az nem elegendő, hogy kiszámolják a két egyenes metszéspontját.