Két bari

Feladat

Két bárányt kikötöttek a $(2;3)$ és a $(4;-1)$ ponthoz. Az első bárány kötele $2$ m hosszú, a második bárány kötele $4$ m hosszú. Milyen hosszú szakaszon tudnak közösen sétálni a bárányok?

Megbeszélés

A két kör egyenlete, amelyen tud a két bárány közlekedni: $(x-2)^2+(y-3)^2=4$ és $(x-4)^2+(y+1)^2=16$. A két kör metszéspontjait keressük, vagyis a két kör egyenletét egy egyenletrendszerként kezeljük. Bontsuk ki a két egyenletet:

• $x^2-4x+4+y^2-6y+9 =4$
• $x^2-8x+16+y^2+2y+1 =16$

Vonjuk ki az alsó egyenletből a felsőt, így kiesnek a másodfokú tagok.

Azt kapjuk, hogy $-4x+12+8y-8=12$, ami átrendezve: $-4x+8y=8$. Vagyis $x=2y-2$.

Ezt helyettesítsük be az egyik kör egyenletébe:

$(2y-2-2)^2+(y-3)^2=4$, ezt megoldva $y_1=\frac{7}{5}$ és $y_2=3$. Visszahelyettesíve: $x_1=\frac{4}{5}$ és $x_2=4$.

A két pont pontot összekötő vekor hosszára lesz szükség: $A(\frac{4}{5};\frac{7}{5})$ és $B(4;3)$. Vegyük a két pont koordinátáinak különbségét: $(\frac{16}{5};\frac{8}{5})$. Az szakasz hosssza: $\sqrt{\frac{16}{5}^2-\frac{20}{5}} \approx 3,58$

Megjegyzés

A két kör egyenletének kivonása egy fontos lépés a másodfokú egyenletrendszerek megoldásában. Jó, ha erre a diákok jönnek rá. Érdemes hangsúlyozni azt is, hogy kijött egy lineáris egyenlet, viszont ezt még vissza kell helyettesíteni az eredeti kör egyenletébe. (ez már nem része a középszintű érettséginek, érdemes érdekességként megmutatni.)