Tortaszeletelés

Feladat

Egy kör alakú tortát szeretnénk felszeletelni három vágással. A torta középpontja a $K(-3;6)$ pont, az átmérője $18$ cm. A három vágás egyeneseinek egyenlete:

• $y =\frac{4}{7}x-\frac{3}{7}$,
• $y = -\frac{6}{5}x+\frac{51}{5}$,
• $y = 4x+8$

Hány szelet keletkezik?

Megbeszélés

Legfeljebb a $7$ szelet keletkezhet. Ekkor minden metszéspont a torta belsejében található. Nézzük meg, hogy az egyenesek hol metszik egymást.

$y=\frac{4}{7}x-\frac{3}{7}$, $y= -\frac{6}{5}x+\frac{51}{5}$

Vonjuk ki az első egyenletből a másodikat: $\frac{62}{35}x-\frac{372}{35}=0$, tehát $x=6$, visszahelyettesítve $y=3$. A metszéspont $(6;3)$.

$y=\frac{4}{7}x-\frac{3}{7}$, $y=4x+8$

Vonjuk ki a második egyenletből az elsőt: $\frac{24}{7}x+\frac{59}{7}=0$, tehát $x=-\frac{59}{24}$. Visszahelyettesítve $y=\frac{59}{6}+8$

$y= -\frac{6}{5}x+\frac{51}{5}$, $y=4x+8$

Vonjuk ki a második egyenletből az elsőt: $\frac{26}{5}x-\frac{11}{5}=0$, tehát $x=\frac{11}{26}$. Visszahelyettesítve $y=\frac{22}{13}+8$.

A kör egyenlete: $(x+3)^2+(y-6)^2=81$.

Helyettesítsük be a metszéspontok koordinátáit: $(6+3)^2+(3-6)^2=90$. Vagyis ez a pont kívülre esik, hiszen $90>81$.

$(\frac{59}{24}+3)^2+(\frac{59}{6}+8-6)^2\approx64,69$, tehát ez a metszéspont belülre esik, hiszen $64,69<81$.

$(\frac{11}{26}+3)^2+(\frac{22}{13}+8-6)^2\approx25,35$, tehát ez a metszéspont is belülre esik, hiszen $25,35<81$.

Mivel két metszéspont esik csak belülre, maximum, hat szelet lehet, a metszéspontok nem esnek egybe, ezért lesz is hat szelet.

Megjegyzés

Ez a feladat alkalmas arra, hogy beszélgessünk arról, hogy egy egyenes hány részre oszthatja a síkot.

Illetve érdemes beszélni arról is, hogy mikor lesz egy pont a körben, és mikor a körön kívül, hogyan egyszerű ezt eldönteni.