Családfa

Feladat

Egy királyi családban az anyakirálynőnek két lánya van. Majd ezután minden további generációban mindig eggyel több lány születik, mint az előzőben (Ellenőrző kérdés: Az anyakirálynőnek hány unokája van?)

Egyszer az egyik utód, Abigél arra jött rá, hogy a lányaik generációja éppen ötször népesebb, mint a saját és a szülei generációja összesen.

Hány fős Abigél generációja?

Megbeszélés

Legyen Abigél szüleinek generációjának létszáma: $S$.

Ekkor Abigél generációja: $x\cdot S$, míg a lányaik $(x+1)x\cdot S$-en vannak. Így felírhatjuk az Abigél által észrevett összefüggést:

$5\cdot (S + x\cdot S) = (x+1)x\cdot S$

Osztva $S$-sel kapjuk, hogy $5 + 5x = x^2+x$. Ezt átrendezve a következő egyenletet kell megoldanunk: $0 = x^2-4x-5$

Az egyenletnek két megoldása lehet: $x=5$ vagy $x=-1$. Ebből csak a pozitív megoldás felel meg a feltételeknek, tehát Abigél szüleinek $5$ lánya van. Innen már látható, hogy Abigél korosztálya $5\cdot 4 \cdot 3 \cdot 2\cdot 1 = 120$ tagú.