Dolgozat

Feladat

Egy háromszög B csúcsnál lévő szöge $45^\circ$. A $B$ csúcsból induló oldalak hossza $11$ és $13$ cm. Mekkora a háromszög területe?

Feladat

Egy háromszögben $\alpha = x$, $\beta = 3x$, $\gamma = 6x$.

• Mekkorák a háromszög szögei?
• Tudjuk, hogy az $a$ oldal hossza $20$ cm. Milyen hosszú a $b$ oldal?

Feladat

Az alábbi képen egy edény látható, amelyben a teljes magasság $\frac{2}{3}$-ig víz van. Ismerjük az ábrán látható adatokat ($BD = 15$ cm, $AB = 12$ cm, $ABD\angle = 110^\circ$). Milyen magasan áll a víz?

Feladat

Adott az ábrán látható négyszög.

• Tudjuk, hogy $AB = 180$ cm, $AD = 150$ cm, és a $BAD\angle =53.13^\circ$. Milyen hosszú a $BD$ átló?
• A négyszög két másik oldala ugyanolyan hosszú (azaz $BC=CD$). Milyen hosszúak ezek az oldalak, ha tudjuk, hogy $BCD\angle= 42^\circ$?

Feladat

Fakultatív feladat: Tudjuk, hogy egy háromszög A csúcsából induló két oldala $10$ és $16$ egység, a területe pedig $78$ egység. Milyen területű háromszögekre osztja a háromszöget az A csúcsból induló szögfelező?

Megoldás

Trigonometrikus területképlettel számolva:

$$\frac{11 \cdot 13 \cdot \sin{45^\circ}}{2}=50.56 \text{ cm$^2$}$$

Megoldás

A háromszög szögeinek az összege: $180^\circ = x + 3x + 6x = 10x$, azaz $x=18^\circ$.

Tehát $\alpha=18^\circ$, $\beta=54^\circ$, $\gamma=108^\circ$. A $b$ oldal hosszát kiszámolhatjuk a szinusztétel segítségével:

$$b=\frac{\sin{54^\circ}}{\sin{18^\circ}}\cdot 20=52.36 \text{ cm}.$$

Megoldás

Ha $D$-ből merőlegest állítunk az $AB$ egyenesre, akkor egy derékszögű háromszöget kapunk, melynek szögei $20^\circ$ és $70^\circ$.

Így a szaggatott vonal hossza $m=\cos{20^\circ}\cdot 15 \approx 14.0954$ cm. Ennek a kétharmadáig ér a víz, azaz a víz $9.4$ cm magasan van.

Megoldás

Koszinusztétellel számolva: $x^2=150^2+180^2-2\cdot 150\cdot 180\cdot \cos{53.13^\circ}$. Ebből $x \approx 150$ cm.

Mivel $BCD$ háromszög egyenlőszárú, a $C$ csúcsból állított merőleges felezi a $BD$ oldalt és a $C$ csúcsnál lévő szöget is. Ezért kapunk egy olyan derékszögű háromszöget, melynek a rövidebb befogója $75$ cm és az ezzel szemközti szög $21^\circ$. Innen:

$$BC=\frac{75}{\sin(21^\circ)}=209.28\text{ cm}.$$

Megoldás

Legyen $x$ a szögfelező hossza. Ekkor a két terület felírható a következőképpen:

$$t_1=\frac{10\cdot x\cdot \sin{(\alpha/2)}}{2}$$

és

$$t_2=\frac{16\cdot x\cdot \sin{(\alpha/2)}}{2}.$$

A két terület aránya $\frac{t_1}{t_2}=\frac{10}{16}$. Vagyis a két terület: $30$ és $48$ egység.

Megjegyzés

Alapvetően a dolgozatok jól sikerültek. Az látszott a munkájukon, hogy értik és gondolkoznak. Sok kreatív megoldás született a feladatokra.

A választható feladaton sokan gondolkodtak, de mindenki számolgatással próbálta meg megoldani, és a végére belezavarodtak.