Ugrás a fő tartalomhoz

Érettségi feladat - 2020. május II.

Feladat

Egy sétálóutca díszburkolatát ötszög alakú egyenes hasáb alakú kövekkel készítik el. A kő alapját képező ABCDEABCDE ötszög tengelyesen szimmetrikus, négy oldala 1010 cm hosszú, három szöge 120∘120^\circ-os az ábrának megfelelően.

  • Számítással igazolja, hogy az AEDAED és a BCDBCD háromszögek derékszögűek.
  • Számítsa ki az ABCDEABCDE ötszög területét.
Megbeszélés

Az ötszög maradék két szöge összesen 540∘−3⋅120∘=180∘540^\circ-3\cdot 120^\circ=180^\circ. A szimmetria miatt a két szög egyenlő, tehát derékszögű a két háromszög.

A terület kiszámításához osszuk három részre az ötszöget a DADA és DBDB átlók behúzásával. Az AEDAED és a BCDBCD háromszögek derékszögűek, így területük: 10⋅102=50\frac{10\cdot 10}{2}=50.

DADA és DBDB oldalak hossza Pitagorasz-tétellel kiszámítható: 2⋅10\sqrt{2}\cdot 10.

Az AEDAED és a BCDBCD derékszögű és egyenlő szárú háromszögek, ezért az ADB∠=120∘−45∘−45∘=30∘.ADB \angle=120^\circ-45^\circ-45^\circ=30^\circ. Tehát az ABDABD háromszög területét kiszámolhatjuk a trigonometrikus területképlettel: 2⋅10⋅2⋅10⋅sin⁡30∘2=50\frac{\sqrt{2}\cdot 10 \cdot\sqrt{2}\cdot 10 \cdot \sin{30^\circ}}{2}=50

Az ötszög területe 150150.

Megjegyzés

Lényeges ötlet, hogy ki kell egészíteni az ábrát. Gondolkozás közben ezt a segítséget elmondhatjuk azoknak a diákoknak, akik elakadnak gondolkozás közben.