Ugrás a fő tartalomhoz

Érettségi feladat - 2021. május II.

Feladat

Az ABCDABCD derékszögű trapéz 66 cm-es BCBC szára 110∘110^\circ-os szöget zár be a 1212 cm-es alappal.

  • Számítsa ki a trapéz másik két oldalának hosszát!
  • Számítsa ki a BCDBCD háromszög BDBD oldalának hosszát és ismeretlen szögeit!
Megbeszélés

CC csúcsból húzzunk párhuzamost az ADAD oldallal, az alappal vett metszéspontja legyen EE. Az így keletkezett BCEBCE háromszögben a BB csúcsnál lévő szög 360∘−90∘−90∘−110∘=70∘360^\circ-90^\circ-90^\circ-110^\circ=70^\circ. Mivel ez egy derékszögű háromszög, ezért kiszámolható a másik két odala: CE=sin⁡70∘⋅6≈5.6382=ADCE = \sin{70^\circ}\cdot 6 \approx 5.6382=AD, illetve BE=cos⁡70∘⋅70≈2.0521BE = \cos{70^\circ}\cdot 70 \approx 2.0521. Azaz AB≈2.0521+12=14.0521AB\approx 2.0521+12=14.0521.

A BDBD szakasz hossza koszinusztétellel számolható ki. BD2=122+62−2⋅6⋅12⋅cos⁡110∘≈229.2509BD^2=12^2+6^2-2\cdot 6\cdot 12 \cdot \cos{110^\circ}\approx229.2509 Vagyis BD≈15.141BD \approx 15.141.

A szögeket ezután szinusztétel segítségével számolhatjuk. sin⁡β≈615.141⋅sin⁡110∘=0.3724\sin{\beta}\approx \frac{6}{15.141}\cdot \sin{110^\circ}=0.3724. Tehát β≈21.8622∘\beta\approx 21.8622^\circ. Innen γ≈180∘−110∘−21.8622∘=48.1378∘\gamma\approx 180^\circ-110^\circ-21.8622^\circ=48.1378^\circ.