Lézer

Feladat

Egy múzeumban lézerekkel őrzik az értékes festményeket. Szeretnénk ezeken átjutni. Azt látjuk, hogy mely pontok között haladnak lézersugarak:

$(0;20)$ - $(140;50)$

$(30;0)$ – $(50;100)$

$(110;0)$ – $(70;100)$

Át tudunk-e jutni az alsó, középső részen, ha $40$ cm magasságúra össze tudjuk húzni magunkat (a szélességünket most elhanyagoljuk)?

Megbeszélés

Írjuk fel a három egyenes egyenletét:

• $0a+b = 20$
• $140a+b = 50$

Az első egyenlet alapján $b=20$. Behelyettesíve a másodikba: $140a+20=50$, vagyis $a=\frac{3}{14}$. Az egyenlet: $y=\frac{3}{14}x+20$.

• $30a+b = 0$
• $50a+b = 100$

A második egyenletből kivonva az elsőt $20a=100$-at kapunk. Vagyis $a=5$. Visszahelyettesítve: $30\cdot 5 +b=0$, tehát $b=-150$. Az egyenes egyenlete: $y=5x-150$.

• $110a+b = 0$
• $70a+b = 110$

Az első egyenletből vonjuk ki a másodikat: $40a=-110$, tehát $a=-\frac{11}{4}$. Visszahelyettesítve: $-\frac{11}{4}\cdot 110 + b =0$, vagyis $b=\frac{605}{2}$. Az egyenes egyenlete: $-\frac{11}{4}x+\frac{605}{2}=y$

Ahhoz, hogy meg tudjuk állapítani, hogy átférünk-e a középső részen, két metszéspont $y$ koordinátáit kell megvizsgálni. Ha az egyik legalább $40$, akkor átférünk a lézer alatt. A metszéspontokhoz az első egyenes másik két egyenessel vett metszetét kell vizsgálni ($G, H$): $y=\frac{3}{14}x+20$ és $y=5x-150$, illetve $y=\frac{3}{14}x+20$ és $-\frac{11}{4}x+\frac{605}{2}=y$.

• $\frac{3}{14}x+20 = y$
• $5x-150 = y$

Vonjuk ki az alsó egyenletből a felsőt: $\frac{67}{14}x-170=0$, így $x=35,52$ és $y=27,61$. Vagyis a $G$ pont $y$ koordinátája kisebb, mint 40.

A másik metszéspont egyenletrendszere:

• $\frac{3}{14}x+20 = y$
• $-\frac{11}{4}x+\frac{605}{2} = y$

Vonjuk ki a felső egyenletből az alsót: $\frac{83}{28}x-282,5=0$. Ebből $x\approx95,3$. Visszahelyettesíve megkapjuk, hogy $y\approx40,4$, ami nagyobb, mint 40.

Vagyis a $H$ pontnak az $y$ koordinátája nagyobb, mint $40$, így elfér alatta egy $40$ cm magas ember.

Megjegyzés

Az értelmezéshez segít, ha rajzolunk arányosított ábrát. A feladat során jó megbeszélni, hogy melyik metszéspontok számítanak.