Párhuzamos és merőleges egyenesek

Feladat

Az $e$ egyenesre illeszkedik két pont: $A(2;3), B(6;5)$. A $P(8;11)$ egy külső pont. Add meg a $P$-n átmenő, $e$-vel párhuzamos, illetve merőleges egyenes egyenletét.

Megbeszélés

Az $A$-n és $B$-n átmenő egyenes egyenletét egyenletrendszer segítségével adhatjuk meg:

• $2a+b = 3$
• $6a+b = 5$

Második egyenletből vonjuk ki az első egyenletet, így $4a=2$ összefüggsést kapjuk. Ezt megoldva $a=\frac{1}{2}$. Visszahelyettesítve az első egyenletbe: $2\cdot \frac{1}{2}+b=3$. Vagyis $b=1$. Az egyenes egyenlete, ami átmegy az $A,B$ pontokon $y=\frac{1}{2}x+1$

Párhuzamos egyeneseknek a meredeksége megegyezik. Tehát olyan alakban keressük a párhuzamos egyenest, hogy $y=\frac{1}{2}x+b$. Átmegy a $P$ ponton, tehát a koordinátái kelégitik az egyenletet: $11=\frac{1}{2}\cdot 8+b$. Vagyis $b=7$. A párhuzamos egyenes egyenlete: $11=\frac{1}{2}x+7$.

A merőleges egyenesnél érdemes rajzoltatni a diákokat, majd a megfigyelés tapasztalatait levonni. A merőleges egyenes meredekség reciproka és ellentetje az eredeti egyenes meredekségének, $y=-2x+b$. Behelyettesítve a $P$ pontot $11=-2\cdot 8+b$, tehát $b=27$.

Megjegyzés

Az összefüggéseket jó, ha a diákok állapítják meg, érdemes időt hagyni a rajzolgatásra.