Ugrás a fő tartalomhoz

Játék a területképletekkel

Feladat

Egy aa, bb, cc oldalú háromszögben a területképletet háromféleképpen is fel tudjuk írni:

t=a⋅b⋅sin⁡γ2=a⋅c⋅sin⁡β2=c⋅b⋅sin⁡α2t = \frac{a\cdot b \cdot \sin{\gamma}}{2} = \frac{a\cdot c \cdot \sin{\beta}}{2} = \frac{c\cdot b \cdot \sin{\alpha}}{2}

Ezeket az összefüggéseket használva keressünk további igaz összefüggéseket!

Megbeszélés

Például összeszorozhatjuk az első két szorzatot, ekkor:

t2=a⋅b⋅sin⁡γ2⋅a⋅c⋅sin⁡β2=a2⋅b⋅c⋅sin⁡β⋅sin⁡γ4t^2 = \frac{a\cdot b \cdot \sin{\gamma}}{2} \cdot \frac{a\cdot c \cdot \sin{\beta}}{2} = \frac{a^2\cdot b \cdot c \cdot \sin{\beta} \cdot \sin{\gamma}}{4}

Ez az összefüggés igaz, de túl bonyolult. Érdekesebb dolgot kapunk, ha elosztjuk őket egymással:

1=t/t=a⋅b⋅sin⁡γ2/a⋅c⋅sin⁡β2=b⋅sin⁡γc⋅sin⁡β.1 = t/t = \frac{a\cdot b \cdot \sin{\gamma}}{2} \bigg/ \frac{a\cdot c \cdot \sin{\beta}}{2} = \frac{b\cdot \sin{\gamma}}{c \cdot \sin{\beta}}.

Átrendezve:

b⋅sin⁡γ=c⋅sin⁡βb\cdot \sin{\gamma} = c \cdot \sin{\beta}

További átrendezéssel és a hiányzó képletre is felírva megkapjuk, hogy a következő azonosság minden háromszögben teljesül:

asin⁡α=bsin⁡β=csin⁡γ\frac{a}{\sin{\alpha}}=\frac{b}{\sin{\beta}}=\frac{c}{\sin{\gamma}}

Ezt szinusztételnek nevezzük.

Megjegyzés

A foglalkozáson a diákok a szinusztételt írták fel, azonban nem a szokásos formában, hanem szorzatként, azaz a b⋅sin⁡γ=c⋅sin⁡βb\cdot \sin{\gamma} = c \cdot \sin{\beta} alakban.