Hasonló háromszögek keresése

Feladat

Nyolc derékszögű háromszög különféle adatait megmérték és feljegyezték. Mely háromszögek lehetnek hasonlóak egymáshoz (a mérési pontatlanságtól eltekintve)?

• A - Átfogó $40$ cm, egyik szög: $36.87^{\circ}$
• B - Átfogó $10$ cm, egyik szög: $15^{\circ}$
• C - Két befogó: $10.352$ cm, $38.673$ cm
• D - Átfogó: $20$ cm, egyik szög: $40^{\circ}$
• E - Egyik szög: $53.13^\circ$, ezzel szemközti befogó $15$ cm
• F - Egyik befogó $10$ cm, átfogó: $46.364$ cm
• G - Két befogó: $3$ cm, $4$ cm
• H - Befogó: $10$ cm, átfogó: $15.557$ cm

Megbeszélés

Ha egy derékszögű háromszögben adott az egyik hegyesszög, akkor a másikat is ki tudjuk számolni. Így a megadott háromszögek egy részének meg tudjuk határozni a szögeit (A, B, D, E). Ezek alapján látjuk, hogy A és E hasonlóak (hiszen két háromszög hasonló, ha a szögeik megegyeznek).

Ha egy derékszögű háromszögben két oldal is adott, akkor a Pitagorasz-tétellel kiszámolhatjuk a hiányzó oldalt (C, F, G, H). Így minden megadott háromszögnek ismerjük vagy a szögeit vagy az oldalait.

Hogyan döntsük el, hogy két derékszögű háromszög hasonló, ha az egyiknek ismerjük a szögeit, a másiknak pedig ismerjük az oldalait?

Mindkét esetben ki tudjuk számolni hegyesszögek szinuszait. Ha adott egy szög, akkor számológéppel kiszámolhatjuk ennek a szinuszát (pl.: $\sin{40^\circ} \approx 0.6428$).

Ha az oldalakat ismerjük, akkor egy szöggel szemközti befogót elosztva az átfogóval megkapjuk a szög szinuszát. Két hegyesszög pontosan akkor egyenlő, ha a szinuszaik egyenlőek, így egyértelműen el tudjuk dönteni, hogy mely háromszögek lehetnek hasonlóak egymáshoz.

• $3, 4, 5$ oldalú háromszög: $A, E, G$
• $15^\circ$-os háromszög: $B, C, F$
• $40^\circ$-os háromszög: $D, H$

Megjegyzés

• A feladatban csak közelítő adatokkal számoltunk, így azt nem tudjuk, hogy a háromszögek valóban hasonlóak-e (Azonban abban biztosak lehetünk, hogyha két háromszög nem hasonló). Emiatt a feladatban feltételes módben beszéltünk a lehetséges hasonlóságról.

• Gondolkozás közben egy ponton tisztázhatjuk, hogy ha két hegyesszög szinusza megegyezik, akkor a két szög is.

• Ha nehezen megy a feladat érdemes javasolni olyan párokat, ahol könnyebb elindulni, például: C, G vagy F, H.

Órai tapasztalat: A foglalkozáson ez a feladat nehezen ment, még azután is, hogy megbeszéltük a stratégiát. Kiszámolták a szögeket, oldalakat, de utána nem tudták eldönteni a háromszögekről, hogy hasonlóak-e. Valószínűleg jobban működött volna, ha egyet-kettőt közösen megnézünk és átbeszéljük a stratégiákat.