Törpék sapkái I.

Feladat

A hét törpe elmegy sapkát csináltatni. A sapkájuk alapanyaga egy olyan derékszögű háromszög, amelynek az átfogója $20$ cm hosszú. A derékszögön kívüli szögeket a törpék választják ki. Állítsd növekvő sorrendbe a törpék sapkáit aszerint, hogy milyen hosszan kellett körbeszegni az anyagot, ha tudjuk, hogy a törpök az alábbi számokat választották:

Hapci: $42^{\circ}, \;$ Szende: $89^{\circ},\;$ Tudor: $41.5^{\circ},\;$ Vidor: $64^{\circ},\;$ Morgó: $5^{\circ},\;$ Szundi: $26^{\circ},\;$ Kuka: $50^{\circ}$.

Megbeszélés

Egy derékszögű háromszögben ki tudjuk számolni a két befogót.

Például Hapci sapkájánál a $42^\circ$-os szöggel szemközti befogó hossza $\sin 42^\circ \cdot 20 \approx 13.38$ cm, míg a másik befogó hossza $\cos 42^\circ \cdot 20 \approx 14.86$ cm. Tehát $20+13.38+14.86=48.24$ cm a kerülete.

Hasonlóan a többi sapka kerületeit is kiszámolhatjuk. Így a sorrend a következő: Szende ($89^\circ$), Morgó ($5^\circ$), Szundi ($26^\circ$) = Vidor ($64^\circ$), Kuka ($50^\circ$), Tudor ($41.5^\circ$), Hapci ($42^\circ$).

Megjegyzés

A feladat célja a szinusz és koszinusz fogalmának a gyakorlása. Ha a diákok egyesével kiszámolják a kerületeket, akkor az egy teljes értékű megoldás.

A számolások elvégzése után érdemes feltenni a következő kérdést: Ha Hófehérkének lenne egy $30^\circ$-os sapkája, akkor az hova kerülne a sorban? Ki az, akinek van valamilyen sejtése? Észrevehetjük, hogy a sorrend pontosan megegyezik a kisebbik szög szerinti növekvő sorrenddel.

A sejtés igaz, valóban minél nagyobb a (kisebbik) szög, annál nagyobb a kerület. Ennek az indoklása nehéz, de érdeklődő diákok gondolkozhatnak rajta.

Órai tapasztalat: A feladat megbeszélésénél egy diák volt, aki látta a szögek szerinti sorbarendezést, illetve azt is, hogy Hófehérke sapkája hol helyezkedik el a sorban.