Ugrás a fő tartalomhoz

Törpék sapkái II.

Feladat

A hét törpe elmegy, hogy csináltasson a sapkáihoz illő kendőt. A kendő alapanyaga szintén egy derékszögű háromszög, melynek az átfogója 11 m. Mindenki egyedi sálat kér, elmondják a varrónőnek, hogy milyen háromszöget szeretnének. Mennyi anyagra van szüksége a varrónőnek az egyes sálak elkészítéséhez (azaz mekkora a háromszögek területe)? Rakd növekvő sorrendbe!

  • Hapci: 3∘3^{\circ}
  • Szende: 44∘44^{\circ}
  • Tudor: 31∘31^{\circ}
  • Vidor: 11∘11^{\circ}
  • Morgó: 19∘19^{\circ}
  • Szundi: egyik befogó 12\frac{1}{2} m
  • Kuka: egyik befogó 0.60.6 m

Szerkesztés Desmosban

Megbeszélés

A területek konkrét kiszámolásnál kétféle lehetőségünk van. Ha adott az egyik szög, akkor ki tudjuk számolni a két befogót. Például Hapcinál: a=sin⁡3∘⋅1=0.0523a=\sin{3^\circ}\cdot 1 =0.0523 m és b=cos⁡3∘⋅1=0.9986b=\cos{3^\circ}\cdot 1= 0.9986 m. Mivel derékszögű háromszögről van szó, a területet kiszámolhatjuk az a⋅b2\frac{a\cdot b}{2} képlettel, így Hapci sáljának területe:

0.0523⋅0.99862≈0.0261 m2\frac{0.0523 \cdot 0.9986}{2} \approx 0.0261 \text{ m}^2

Ha az egyik befogó adott, akkor Pitagorasz-tétellel kiszámolhatjuk a másik befogót. Például Szundinál: b=12−0.52=32b=\sqrt{1^2-0.5^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}. Így Szundi sáljának területe:

12⋅322=38≈0.2165 m2.\frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{8} \approx 0.2165 \text{ m}^2.

Minden kendő esetén elvégezve a számolásokat, a következő sorrendet kapjuk: Hapci, Vidor, Morgó, Szundi, Tudor, Kuka, Szende.

b) Észrevehetjük, hogy a terület szerinti növekvő sorrend is megegyezik a kisebbik szög szerint növekvő sorrenddel. Miért van ez így, próbáljuk meg indokolni! (Érdemes ezt külön kérdésként feladni.)

Rajzoljunk egy ábrát, a háromszög derékszögű csúcsa egy félkörön mozog (ezt mondja ki a Thalész-tétel).

A derékszögű háromszög területét felírhatjuk az átfogó és az átfogóhoz tartozó magasság szorzataként is. Az átfogó hossza állandó, így a terület a háromszög magasságával arányos. A magasság viszont annál nagyobb, minél nagyobb a háromszög α\alpha szöge.

Megjegyzés

A jelenséget legjobban egy geogebra ábrán szemléltethetjük. A derékszögű csúcs mozgatásával sokkal jobban el tudják képzelni a terület változását, mintha csak szóban beszélnénk róla.

Lehetséges csatlakozó kérdés: Az átfogóhoz tartozó magasságot ki tudjuk-e számolni a megfelelő adatokkal?

Igen, ki tudjuk számolni. Felírhatjuk az α\alpha szög melletti oldal hosszát: b=cos⁡α⋅1b = \cos{\alpha}\cdot 1. Ennek segítségével már felírhatjuk a magasságot:

m=sin⁡α⋅b=sin⁡α⋅cos⁡α⋅1.m = \sin{\alpha}\cdot b = \sin{\alpha}\cdot\cos{\alpha}\cdot 1.

Ezek alapján általánosan is felírhatjuk egy derékszögű háromszög területét:

t=c2⋅sin⁡α⋅cos⁡α2t = \frac{c^2\cdot\sin{\alpha}\cdot \cos{\alpha}}{2}