Tompaszögek szögfüggvényei

Feladat

Tompaszögek szinuszairól eddig a pontig nem volt szó, az előző feladatban mégis számoltunk vele. Több kérdés is felmerül ezzel kapcsolatban:

a) Hogyan számoltátok ki az előző feladat utolsó kérdését? Ha használtátok a területképletet, akkor hogyan számoltátok ki a $\sin(125^{\circ})$ értékét? Mennyire vagytok biztosak benne, hogy ez a képlet helyes eredményt ad? (Ki az, aki fogadna egy csokiban is akár?)

b) Ha egy szög $90^\circ$ és $180^{\circ}$ között van, akkor mit javasoltok, mi legyen ezeknek a szögeknek a szinusza?

c) És ha egy szög $90^\circ$ és $180^{\circ}$ között van, akkor mit javasoltok, mi legyen ezeknek a szögeknek a koszinusza?

Megbeszélés

a) A leggyakoribb eset, hogy számológéppel számolták ki a képletet, ahol a számológép kiszámolja a szinusz értékét. De mi is ez az érték?

b) Természetes javaslat, hogy egy tompaszög szinuszát így definiáljuk:

$$\sin{\alpha}=\sin(180^\circ-\alpha)$$

És valóban ez is a kiterjesztés. Mi szól amellett, hogy ezt válasszuk?

Egyrészt, ha a pálcaállásokat nézzük, akkor abból ez következik. Ha két oldalról nézünk egy konkrét állást, akkor az egyik irányból hegyesszög, másik irányból tompaszög lesz a bezárt szög, míg a magasság természetesen megegyezik.

Egy további érv a kiterjesztés jósága mellett, hogy így a területképlet is úgy tűnik, hogy működik.

c) Itt is logikus javaslat, hogy így értelmezzük a tompaszögek koszinuszát:

$$\cos{\alpha}=\cos(180^\circ-\alpha).$$

(Aki vélhetően tudja a helyes választ, az ne kapjon szót. Szavazás arról, hogy ki mennyire biztos ebben. Ki az, aki ad 1 tábla csokit?)

Meglepő módon itt mégsem ez a kiterjesztés. Annak ellenére, hogy amit mondanak, az a logikus, tehát a megfogalmazott javaslatuk jó, de mégsem ezt a definíciót választották a matematikusok. A következő összefüggés igaz:

$$\cos{\alpha}=-\cos(180^\circ-\alpha).$$

Miért kerül ide egy negatív előjel? Ennek van mély oka, azonban ez a jelenlegi tudásunkkal nem elérhető. Egy érvet tudunk a választás mellett mondani. Amikor a pálcát mozgatjuk, akkor a szinusz az $y$, a koszinusz pedig az $x$ koordinátát mondja meg.

Megjegyzés

Ha ez jól megy, akkor kitérhetünk a $180^\circ$-nál nagyobb szögek szinuszára és koszinuszára is.

A következő feladatban tisztázzuk még azt, hogy a területképlet valóban helyes eredményt ad tompaszögű háromszög esetén is.