Koszinusztétel

Feladat

A következőkben a háromszögben ismerjük az $a$ és $b$ oldal hosszát és a $\gamma$ szöget. Az a kérdés, hogy ezek ismeretében melyik képlet lehet a helyes.

Ha valamelyik képletet ki tudod zárni, akkor írd meg az ellenérvet.

• a) $c=a+b-\cos{\gamma}$
• b) $c=a+b-a \cdot \cos{\gamma}$
• c) $c^2=ab-ab \cdot \cos{\gamma}$
• d) $c^2=(a^2+b^2) \cdot \cos{\gamma}$
• e) $c^2=a^2+b^2+2ab\cdot \cos{\gamma}$
• f) $c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos{\gamma}$
• g) $c^2=a+b+ab \cdot \cos{\gamma}$
• h) $c=\frac{a^2+b^2}{a \cdot \cos{\gamma}}$
• i) $c=a\cdot \cos{\gamma}$

Megbeszélés

Lehetséges ellenérvek:

• a) Dimenziók nem egyeznek. Ha az oldalakat a kétszeresükre nagyítjuk a jobb oldal nem lesz a kétszerese, mert a $\cos{\gamma}$ nem változik.
• b) Nem szimmetrikus a képlet. (Ha $a$ és $b$ oldalt felcserélem a jobb oldal nem lesz ugyanaz.)
• c) Egy egyenlőszárú derékszögű háromszög ($a=b=1$, $\gamma=90^\circ$) esetén $c^2 = 2$, míg a jobb oldal $1$. Egység oldalú szabályos háromszöget is nézhetünk, ekkor mindkét oldalon $1$-nek kellene állnia, de ebben az esetben a jobb oldalon biztosan $1$-nél kisebb szám állna.
• d) Ha $\gamma=90^\circ$, akkor a jobb oldal $0$ lenne.
• e) Szabályos háromszögre nem jó eredményt ad.
• f) Ez a jó képlet.
• g) Nem egyeznek a dimenziók. Például szabályos háromszög esetén ha az oldalakat a kétszeresükre nagyítjuk a jobb oldal kevesebb, mint a négyszeresére változik, hiszen az $a+b$ csak kétszeresére nő. (Máshogy: Ha mértékegységeket is kiírnánk a képletben, akkor a jobb oldalom m-t kellene összeadni m$^2$-tel, ami furcsa.)
• h) Nem szimmetrikus a képlet. (Ha $a$ és $b$ oldalt felcserélem a jobb oldal nem lesz ugyanaz.) Vagy $90^\circ$ esetén nullával kellene osztani
• i) Ha a $b$ oldalt változtatjuk, akkor a jobb oldal nem változik, pedig a $c$ oldal a valóságban változik.

Megjegyzés

A foglalkozáson nehezen indult a feladat. Segítség lehet, hogy felhívjuk a figyelmüket speciális esetekre (pl.: $\gamma = 90^\circ$) vagy az $a$ és $b$ oldal felcserélhetőségére, a szimmetriára.