Ugrás a fő tartalomhoz

Koszinusztétel bizonyítása elemi úton

Feladat

Bizonyítsuk be a koszinusztételt hegyesszögű háromszögekben. Azaz igazoljuk, hogy

c2=a2+b2−2⋅a⋅b⋅cos⁡γ.c^2 = a^2+b^2 - 2\cdot a\cdot b\cdot \cos{\gamma}.
Megbeszélés

Húzzuk be a cc oldalhoz tartozott magasságot. Ekkor a magasság talpontja két részre osztja a cc oldalt.

A magasság két derékszögű háromszögre osztja a háromszöget. Írjuk fel azokat a befogókat, amelyek a cc oldalon fekszenek, így azt kapjuk, hogy

c=a⋅cos⁡β+b⋅cos⁡α.c=a\cdot \cos{\beta}+b\cdot \cos{\alpha}.

Szorozzuk be mindkét oldalt cc-vel:

c2=a⋅c⋅cos⁡β+b⋅c⋅cos⁡α.c^2=a\cdot c\cdot \cos{\beta}+b\cdot c\cdot \cos{\alpha}.

Ez szimmetrikus, tehát hasonlóan felírhatjuk a másik két oldalra is:

a2=a⋅b⋅cos⁡γ+a⋅c⋅cos⁡β,  b2=a⋅b⋅cos⁡γ+b⋅c⋅cos⁡αa^2=a\cdot b\cdot \cos{\gamma}+a\cdot c\cdot \cos{\beta}, \; b^2=a\cdot b\cdot \cos{\gamma}+b\cdot c\cdot \cos{\alpha}

Adjuk össze ezt a két egyenletet:

a2+b2=a⋅b⋅cos⁡γ+a⋅c⋅cos⁡β+a⋅b⋅cos⁡γ+b⋅c⋅cos⁡α=a^2+b^2=a\cdot b\cdot \cos{\gamma}+a\cdot c\cdot \cos{\beta} + a\cdot b\cdot \cos{\gamma}+b\cdot c\cdot \cos{\alpha} =
=2⋅a⋅b⋅cos⁡γ+c⋅(a⋅cos⁡β+b⋅cos⁡α)=2⋅a⋅b⋅cos⁡γ+c⋅c= 2\cdot a\cdot b\cdot \cos{\gamma}+c \cdot (a\cdot \cos{\beta} + b\cdot \cos{\alpha}) = 2\cdot a\cdot b\cdot \cos{\gamma}+c \cdot c

Az egyenlőség két végén álló kifejezést összevetve valóban igazoltuk a koszinusztételt.

c2=a2+b2−2⋅a⋅b⋅cos⁡γc^2 = a^2+b^2 - 2\cdot a\cdot b\cdot \cos{\gamma}

Nem hegyesszögű esetben is hasonló módon igazolható a tétel, de erre nem térünk ki.

Megjegyzés

Az eredeti tervek szerint ez nem szerepelt volna az órán. A bizonyítást csak nagyon érdeklődő csoportoknak ajánljuk.