Pisai ferdetorony

Feladat

A híres tornyot és egy turistát ábrázol ez a kép. Milyen magas a torony, ha ismerjük az ábrán szereplő adatokat?

Forrás: https://mathleaks.com

Megbeszélés

Egyetlen trükk van, hogy a torony ferdeségéből ki tudjuk számolni a háromszög másik szögét, ami $90^\circ-4^\circ = 86^\circ$. Innen megvan a harmadik szög is: $180^\circ-37^\circ-86^\circ = 57^\circ$. A torony magassága legyen $t$, így felírhatunk egy szinusztételt:

$$\frac{t}{80}=\frac{\sin{37^\circ}}{\sin{57^\circ}}.$$

Ebből $t = 57.407$ m.

Megjegyzés

A torony a valóságban is éppen ilyen magas. Azt érdemes tisztázni, hogy ebből csak a torony ,,hosszát'' tudtuk meg, azt nem, hogy a legmagasabb pontja milyen magasan van a talajtól. Ezt akár meg is tippelhetik, ha szeretnék.

Ki is számolhatjuk, hiszen tudjuk, hogy a derékszögű háromszög átfogója $57.407$ m, míg a megfelelő befogóval szemközti szög $86^\circ$. Ebből: $m = 57.407 \cdot \sin{86^\circ} = 57.27$ m.

Két érdemi kérdést érdemes tisztázni velük: milyen magasan van, aki a torony tetjén áll? Milyen magas a torony? A feladatban a másodikat számoltuk ki, megjegyzésben szerepel az első kérdésre a válasz.