Lépcső

Feladat

Adott egy lépcső az ábrán látható módon.

Az $5$ lépcsőfokból álló lépcső $25^\circ$-ban emelkedik. A lépcsőre leterítettek egy pontosan $2$ méter hosszú piros szőnyeget. Milyen magas és hosszú egy lépcsőfok?

Megbeszélés

Használjuk a következő jelöléseket:

Fejezzük ki a két befogót az átfogóval: $a=\sin(25^\circ) \cdot x$ és $b=\cos(25^\circ) \cdot x$. Tudjuk, hogy egy lépcsőfokra $2/5=0.4$ méter, azaz $4$ dm szőnyeg jut, vagyis

$$x=\frac{4}{\sin{25^\circ}+\cos{25^\circ}} \approx 3.01 \; \text{dm}.$$

Az átfogó ismeretében már könnyen kiszámolhatjuk a két befogót: $a=\sin{25^\circ} \cdot 3.01 \approx 1.27$ dm és $b=\cos{25^\circ}\cdot 3.01 \approx 2.73$ dm.

Megjegyzés

Amennyiben a feladat nehezen megy, akkor adhatunk segítséget, méghozzá azt, hogy az átfogó legyen $1$ dm hosszú. Ekkor kiszámolhatjuk a befogókat: $0.4226$ dm és $0.9063$ dm. Ebben az esetben a szőnyeg hossza $6.6445$ dm lenne.

Hogyan tudjuk ezt megjavítani? Mivel az eredetiben $20$ dm hosszú szőnyegünk van, ezért minden oldalt a $\frac{20}{6.6445}$-szorosára kell nagyítanunk.

A feladat szinusztétellel is megoldható, ekkor a $\frac{\sin{25^\circ}}{\sin{65^\circ}}=\frac{a}{b}$ és $a+b=4$ egyenletrendszert kell megoldani. A diákok többsége így oldotta meg a feladatot.