Két oldal és a közbezárt magasság

Feladat

Egy háromszög $C$ csúcsból induló magassága $10$ egység. Az $a$ és $b$ oldal hossza $12$ és $15$ egység. Mekkorák a háromszög szögei?

Megbeszélés

Tudjuk, hogy $\sin{\alpha}=\frac{10}{12}$. Vagyis $\alpha \approx 56.44^\circ$. A $\beta$ hasonlóan számolható: $\sin{\beta}=\frac{10}{15}$. Tehát $\beta \approx 41.81^\circ$. Innen $\gamma=180^\circ-56.44^\circ-41.81^\circ=81.75^\circ$.

A fenti okoskodásban feltételeztük, hogy a háromszög hegyesszögű. Ez azonban nincs feltétlenül így, a megadott adatokkal tompaszögű háromszöget is kaphatunk. Tudunk háromszöget szerkeszteni a következő szögekkel is: $\alpha_2 = 180^\circ-\alpha \approx 123.56^\circ$, $\beta \approx 41.81^\circ$ (itt nem tudunk kiegészítő szöget venni, mert akkor kisebb oldallal szemben nagyobb szög lenne) és $\gamma_2 = 180^\circ-123.56^\circ-41.81^\circ \approx 14.63^\circ$. A két lehetséges háromszög:

Megjegyzés

Mindenképpen beszéljük meg a két lehetséges megoldást. Lehet-e több megoldás, lehet-e $\beta$ tompaszög? Nem, mert nem lehet a kisebbik oldallal szemben tompaszög!